独立筹码模型 (ICM) 由 M. Malmuth 于 1987 年发明，是理解锦标赛扑克策略的最重要公式之一！但我们花了近 35 年的时间才充分利用这一概念……

ICM 非常适合评估锦标赛筹码，但直到最近，对于剩余许多玩家的大型 MTT，计算 ICM 几乎是不可能的。因此，当剩余许多玩家时，每个人都使用 Chip EV 模型来评估锦标赛。扑克科学的最新进展现在使我们能够在剩余数百甚至数千玩家时计算 ICM。

但这引出了一个重要的问题——ICM在什么时候对锦标赛变得重要？什么时候值得切换到 ICM 解决方案？我们与Holdem Resources Calculator的创始人 Helmuth 合作进行了一系列实验，以找出答案。

快速回顾 – 什么是ICM？

独立筹码模型是一种数学公式，可将锦标赛筹码从筹码转换为美元。ICM 仅使用筹码大小来确定玩家在每个位置（第一名、第二名等）的完成频率，然后根据这些位置的赔付分配锦标赛权益。锦标赛权益只是您在奖池中的预期份额，考虑到赔付结构、您在比赛中的位置和筹码大小。

如果您想了解更多有关 ICM 计算方法的信息，请阅读本文。如果您想以更直观的方式理解 ICM，请关注GTO扑克微信公众号，观看学习视频。

ICM 与 Chip EV

Chip EV = 最大化筹码的策略

ICM = 最大化收益的策略

这两者并不相同。ICM 的基本权衡是它有时会牺牲筹码来赢得更多钱。这是因为一个叫做“风险溢价”的概念。在 MTT 中，有时值得避免边缘位置以存活更长时间。损失带来的伤害大于同等筹码收益带来的帮助。相反，筹码领先者可能会玩得更积极，因为他们预计其他筹码会玩得更谨慎。这种规避风险的动态在筹码 EV 策略中不存在。筹码 EV 策略只是毫无畏惧地最大化筹码。

那么这种权衡是否合理？你是否应该为了钱而牺牲筹码？

方法论

这些实验的目的是找出 ICM 在什么时候成为 MTT 中的重要因素。您应该在什么时候从 Chip EV 模型切换到 ICM 模型？我们进行了一系列实验以找出答案。我们模拟了许多采用不同策略配置相互竞争的锦标赛。

参赛选手

• ICM 100%（纯 ICM）
• 电流密度 25% -> 电流密度 75%
• 电流密度 50% -> 电流密度 50%
• 持续性心肺功能 62.5% -> 持续性心肺功能 37.5%
• 电流密度 75% -> 电流密度 25%
• cEV 95.5% -> ICM-FT（仅限决赛表）

例如，这位参赛者：（cEV 25% -> ICM 75%）。使用 Chip EV 策略，直到 25% 的玩家被淘汰。然后他们在剩余的 75% MTT 中切换到 ICM 策略。每场锦标赛都包含每个策略配置文件的相同样本。我们将列出他们的结果，看看在什么时候切换到 ICM 对结果有显著影响。

实验 #1 – 200 名玩家冻结

结果

下图显示了每个策略配置的平均投资回报率。如您所见，越早切换到 ICM 的玩家平均回报率越高。

我们看到，在剩余 50% 的选手和剩余 37.5% 的选手之间开始出现轻微的下降。此时的损失超过了统计显著性，表明这种损失不是由方差造成的。

结果让我们感到惊讶，因为它表明 ICM 在泡沫之前就成为了一个重要因素。由于 15% 的玩家是付费玩家，因此泡沫发生在剩余 15% 的玩家时。然而，我们看到 (cEV 75%/ICM 25%) 尽管在泡沫之前就转向了 ICM，但仍失去了重大价值。

在最底层，我们看到（cEV 95.5%/ICM 4.5%）平均损失 13% 的买入。这种类型的参赛者使用 Chip EV 评估，试图最大化筹码，仅在决赛桌上切换到 ICM。

详细结果

展示位置

让我们探索一下这些优势究竟来自哪里。下图显示了每个策略配置文件的累计 ITM 支出：

我们可以看到，越早转换到 ICM 的策略越能更频繁地赚钱。这是 ICM 总体上赢钱更多的主要原因。

我们可以进一步细分。下图显示了每种策略实现每个展示位置的频率：

我们可以看到右侧的 (cEV 95.5%/ICM4.5%) 爆牌的频率更高，而入围的频率更低。回想一下，此策略配置文件使用 chip EV 直到决赛桌。

尽管如此，cEV 策略比其他策略更经常获得第一名。这实际上正是我们所期望的！ICM（和其他 MTT 权益模型）预测您获得第一名的概率相当于您在锦标赛中的筹码比例。因此，最大化筹码的策略将更经常获得第一名，为此牺牲了 ITM 位置。

基线位置的比例变化

我们可以将上面的展示位置与“基线”概率进行比较。下图显示了与基线展示位置概率的比例变化。

• 基线概率 = 如果随机选择，每个玩家的排名频率。
• 比例变化 = 实际安置概率 / 基线安置概率 – 1

换句话说，与随机策略相比，(cEV 95.5% / ICM 4.5%) 策略获得第一名的可能性高出 18%，但破产的可能性也高出 5.2%。

预期价值

这里最重要的问题是预期价值。我们将使用 100 美元的买入费，将每个放置频率乘以其奖金的预期价值，以查看策略在哪些方面获得或失去价值。那么本届锦标赛的奖池将是 20,000 美元。

EV = 奖金百分比× 奖池 × 展示频率 – 100美元买入费

有趣的是看看锦标赛中每个名次能带来多少钱。

此表更容易理解为基线 EV 的变化。ICM 100% 至 ICM 37.5% 策略在除第二和第一位置外的所有位置都获得 EV。这证明了基本 ICM 权衡的力量——在 MTT 中生存为王。同时，ICM 25% 及以上策略牺牲了泡沫位置 EV，以换取上层位置的更高 EV。

最后，我们可以绘制按策略分配的预期值。
这里的线条非常接近，只有一个主要异常值——（cEV 95.5% / ICM 4.5%）策略。

这张图清楚地表明，cEV 策略正在牺牲大量资金以最大化筹码并争取第一名。这条线与其他线的差异很大，以至于很难看出其他策略之间的细微差异。

实验 #2 – 1000 名玩家冻结

重复是科学家建立对结果可靠性信心的关键方法之一。
重复实验和隔离变量是科学方法的核心原则之一。

在两次实验中，ICM 似乎对剩余 50% 到 37% 的场地结果具有统计显著影响，远远超过 15% 的泡沫。需要注意的是，置信区间使我们无法声称纯 ICM 优于 ICM 50%，尽管总体趋势似乎与我们之前的结果一致。

详细结果

展示位置

这里我们看到了与之前相同的趋势——越早转换到 ICM 的玩家总体上会更频繁地下 ITM 赌注。

基线放置的比例变化

预期价值

改变基线放置 EV

与 200 名玩家的实验类似，我们发现较早切换到 ICM 的玩家会更频繁地进行 ITM 下注，但最高排名附近的 EV 会略低。相反，较晚切换到 ICM 的玩家往往会积累更多筹码并承担更多风险，因此 ITM 下注次数会减少，但最高排名附近的 EV 会更高。

在这里我们可以看到展示位置的基准 EV 的变化：

实验#3——更多策略

我们首先将此模拟作为探索性模拟，以缩小要使用的参赛者范围。结果有助于我们正确看待其他策略。

结果

我们看到与以前相同的趋势——越早转换到 ICM 策略的玩家赚更多的钱。

由于存在更多类似的战略，因此这些结果中存在一些干扰。但总体趋势保持不变。

值得注意的是，纯筹码 EV 正在失去更多价值，而与之前的实验相比，所有其他玩家的 EV 都有所增加。这表明您的预期价值是锦标赛中较差玩家数量的函数。

详细结果

我们可以从统计学角度确信，cEV（75% / ICM 25%）及以下策略正在失去价值。泡沫发生在剩余 14.4% 的玩家中，而剩余 25% 的玩家转向 ICM 时却输了。
这强化了这样一种观点，即 ICM 在泡沫之前就具有显著的统计学影响。为了简洁起见，我们将跳过 EV 和位置分析。

实验#4 – 改变筹码深度

我们之前的实验都以 7BB 的平均筹码深度为特色。接下来，我们将在 5BB 和 10BB 之间改变筹码深度，看看这会对结果产生什么影响。

设置

• 90 人 MTT 淘汰赛
• 13 名付费玩家
• 我们测试了 5BB、7BB、10BB 推/弃牌锦标赛
• 六种不同类型的策略
• 每个玩家都知道并调整彼此的策略
• 样本量：每次测试 500,000 场比赛

5BB 平均筹码量

详细结果

平均筹码量 7BB

详细结果

10BB 平均筹码

不同筹码深度的分析

在所有情况下，(cEV 62.5% / ICM 37.5%) 及以下策略的表现都较差，且具有统计学意义。 我们可以推测，由于全押/弃牌范围更窄，技能优势在 10BB 深度时会缩小。然而，这可能只是一种差异。

实验#5——解决误解

许多玩家认为 ICM 假设比赛在计算后停止并支付奖金。事实并非如此。估算筹码的价值与停止比赛不同。这种误解可能源于以下事实：

• ICM 通常用于达成决赛桌交易。
• ICM 不考虑下一轮的位置或盲注增加

ICM 不对策略做任何假设，它不知道谁有位置，也不知道“范围”一词的含义。ICM 所做的只是估计筹码放置概率。

在这个实验中，我们将证明即使没有玩家了解这个概念，ICM 仍然有效！

设置

这次，我们将模拟两个玩家组，半筹码玩家和全筹码玩家。
每个玩家都使用筹码 EV 策略，因此此模拟中没有人关心 ICM。

• 两个玩家组，一个半筹码组，一个全筹码组
• 每个人都玩 chipEV 策略
• BB = 1/7 平均筹码
• 200 场 MTT，支付场费的 15%（与实验 #1 的支付结构相同）
• 推/弃
• 100 美元买入
• 样本规模：250,000 场比赛

结果

这里我们可以看到半筹码和满筹码玩家的模拟结果与 ICM 预测结果的对比。

例如，“前 15%”表示一名玩家在锦标赛中排名前 15% 的频率。“前 50%”表示一名玩家在锦标赛中排名前 50% 的频率。ICM 预测半筹码组的锦标赛价值为 67.74 美元，全筹码组的锦标赛价值为 132.26 美元。

让我们看看这些预测与模拟结果有多接近：

ICM 预测每个玩家的 EV，估计结果和模拟结果之间只有 0.39 美元的差异。这些结果表明，独立筹码模型是预测锦标赛公平性的有价值且准确的指标，无论锦标赛中的玩家是否了解这一概念。结果还表明，ICM 在关键之处最为准确 –它在靠近金钱所在顶部的地方具有更强的预测能力。

这对你的策略有何影响

这些实验的目的是找出 ICM 何时变得重要。我们可以在GTO 扑克中证明，即使在锦标赛进行到一半时，策略也会发生重大变化。

你可以使用GTO 扑克研究早期和中期 MTT 的 ICM 策略，从而获得竞争优势。

以下动图显示了您的策略在锦标赛期间如何变化。这是基于 200 名玩家的支付结构，如Exp #1中所述。

示例 1：LJ RFI

这里我们可以看到 20BB 深度的最佳 LJ 开局策略。为了便于比较，所有玩家都分配了对称的 20BB 筹码。频率变化不大，但范围的形状发生了巨大变化。

注意，随着 MTT 的进行，开局范围会变得多么密集。随着风险溢价的增加，您的 EV 更多地来自偷盲注，而不是翻牌后的打法。由于筹码紧缩条件和风险溢价增加，翻牌后的隐含赔率会降低。因此，抽牌手牌被换成了阻断 3bet 的手牌。

示例 2：BB 防御

ICM 的效果在大盲注位置最为明显。这是另一个 20BB 对称筹码位置。看看随着比赛的进行，面对 LJ 开局时 BB 变得有多紧！

即使在锦标赛进行到一半时，BB 的弃牌频率也会从 19.6% 变为 35.5%。BB 范围内的大多数牌都接近盈亏平衡，因此风险溢价的微小变化会对他们的防守产生巨大影响。

示例 3：LJ 面对 BTN 3bet

LJ 开牌，BTN 3bets，LJ 行动。这里我们可以看到 LJ 的策略在整个 MTT 中发生了变化。

请注意，随着比赛的进行，LJ 的跟注频率会降低。相反，LJ 选择全押/弃牌策略，在 BTN 上玩“ICM 胆小”策略。显然，ICM 会对您的翻牌前和翻牌后策略产生重大影响。通过查看GTO 扑克中的这些战略变化，我相信我们的全押/弃牌实验并没有充分体现出 ICM 在中期 MTT 场合的优势。

ICM 的替代方案

需要注意的是，ICM 是一个不完美的模型。可以强行计算出更精确的锦标赛评估，但仅限于非常小的游戏树。这篇由 Helmuth Melcher（ Holdem Resources Calculator的创始人） 撰写的优秀论文将传统 ICM 与其他模型进行了比较。三种锦标赛权益模型与精确 NE 策略（表示为 PI-CFR+）进行了对比，也相互进行了对比。原始 ICM 方法以其发明者的名字表示为“Harville”，有时也表示为“Malmuth-Harville”。

模拟结果

以下部分中的表格显示了一个玩家使用基于指定权益模型的单手平衡策略与另一个玩家使用 PI-CFR+ 策略的模拟结果。

Harville (ICM) 和 Robert 的公式都表现得非常好，在面对完美策略时，他们只损失了 1% 的买入金额。值得注意的是，Roberts 在面对精确策略时损失较少，但当两者相互对抗时，Harville (ICM) 胜过 Robert 的公式。

我们更喜欢 ICM 的原因是它更高效。原始 ICM 计算可以扩展，以立即评估数千名玩家！

ICM 有一些一般限制，我们在此处概述了这些限制。ICM 的主要缺点是它忽略了诸如下一轮盲注增加、位置轮换（除非您使用 FGS）、技能优势和位置等因素。一般来说，ICM 倾向于低估筹码领先者的优势。但总的来说，这是一个非常强大的公式，即使在其诞生 35 年后也是如此。

结论

这些实验的目的是找出 ICM 在什么时候成为 MTT 中的一个重要因素。为了测试这一点，我们模拟了数百万场 MTT，参赛者会在整个锦标赛的不同时间点从筹码 EV 模型切换到 ICM 模型。

• 我们测试了多种锦标赛结构和场地规模
• 我们测试了多种堆叠深度
• 即使没有玩家使用 ICM，我们也证明了 ICM 的预测能力
• 我们展示了即使在 MTT 进行到一半时 Solver 策略也会发生显著变化

我们的结果一致表明，较早转换到 ICM 的玩家表现优于较晚转换到 ICM 的玩家。

在中途之前切换到 ICM 的策略的回报持续增加，但收益相对较小且在误差范围内。我们非常有信心地表明，对于 15% 的支付结构，ICM 对剩余 50% 到 37% 的玩家的结果具有统计显著影响。我们可以推测，切换到 ICM 的“最佳点”大约发生在泡沫的三倍。现在应该很清楚，ICM 在泡沫之前就对策略产生了重大影响。

德州扑克资源计算器

我们要感谢Holdem Resources Calculator (HRC) 的创始人 Helmuth Melcher 进行这些模拟并在实验期间提供指导。